Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
tại TRƯỜNG THCS TT PHÚ XUYÊN

Bất đẳng thức Côsin: Lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Côsi hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong sẽ giới thiệu một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu!

I. NHỮNG LÝ THUYẾT CẦN BIẾT VỀ TUYÊN BỐ COSIAN

1. Thế nào là bất đẳng thức Côsin?

Bạn đang xem: Bất Đẳng Thức Côsi: Lý Thuyết Cần Nhớ Và Bài Tập Thường Gặp

Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách chứng minh định lý này nhưng tốt nhất là cách chứng minh quy nạp Cauchy.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số bằng nhau.

+ Phương tiện:

– Bất đẳng thức cos với 2 số thực không âm:

$frac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức cos đối với n số thực không âm:

$frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} ge sqrt[n]{{{x_1}{x_2}... {x_n}}}$

Các “=” dấu xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Các dạng đã nêu của bất đẳng thức Côsin

Một. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cossian

Đưa cho $loại hiển thị {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}ldots {{x}_{n}}$ là các số thực dương, ta có:

– Hình thức 1: $displaystyle frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}}}{n}ge sqrt{{{{x}_{ 1}}cdot {{x}_{2}}cdots {{x}_{n}}}}$

– Dạng 2: $loại hiển thị {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}ge ncdot sqrt[n]{{{{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}cdots }}$

– Dạng 3: $loại hiển thị {{trái( {frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}}}{n}} phải)) }^ {n}}ge {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}cdots {{x}_{n}}$

– Mẫu 4: $displaystyle dfrac{1}{{x_{1}}}+dfrac{1}{{x_{2}}}+ldots +dfrac{1}{{x_{n}}}^{text{3}}ge dfrac {{n^{2}}}{{x_{1}+x_{2}+ldots x_{n}}}$

– Mẫu 5: $loại hiển thị left( {x_{1}+x_{2}+ldots x_{n}} right)left( {dfrac{1}{{x_{1}}}+dfrac{1}{{x_{2} } } +ldots +dfrac{1}{{x_{n}}}} right)ge n^{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=cdots ={{x}_{n}}$

b. Một dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsin

Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên khi n=2, n=3.

c. Một số bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

d. Chú ý khi sử dụng AM – GM. bất bình đẳng

Khi áp dụng bất đẳng thức cosin các số không được âm
Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BDT cần chứng minh có tổng và tích
Điều kiện để có dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức cosic cũng có dạng thường dùng

Cho hai số:

x2+y2≥2xy.
x2+y2≥(x+y)22
xy≤(x+y2)2

Cho ba số: abc≤a3+b3+c33,abc≤(a+b+c3)3

3. Hậu quả Côsi . bất bình đẳng

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge 2xy;2left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} phải) ge { {trái( {x+y} phải)}^{2}};sqrt{{2left( {x+y} phải)}}ge sqrt{x}+sqrt{y}$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xyge frac{{3{{{trái( {x+y} phải)}}^{2}}}}{ 4 }$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}ge xy+yz+zx$

+ $kiểu hiển thị 3trái( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} phải)ge {{trái( {x+y+z} phải ) }^{2}}ge 3left( {xy+yz+zx} phải)$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}} { { y}^{2}}ge xyzleft( {x+y+z} phải)+3left( {{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^ { 4 }}} phải)ge {{trái( {xy+yz+zx} phải)}^{2}}ge 3xyzleft( {x+y+z} phải)$

4. Chứng minh Cauchy

Một. Các trường hợp tất cả các giá trị đều bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị đều bằng nhau:

tức là tổng của chúng là nx1, vì vậy giá trị trung bình là xTrước hết; và tích của các số dưới căn bậc hai là xTrước hếtPHỤ NỮvì vậy giá trị trung bình nhân bây giờ là xTrước hết; vậy thứ nhất và thứ hai bằng nhau, điều này phải được chứng minh.

b. Các trường hợp các giá trị không bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi PHỤ NỮ> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia thành nhiều trường hợp để chứng minh.

c. Trường hợp n = 2

Nếu như PHỤ NỮ= 2, có nghĩa là có hai giá trị x1 và x2, từ giả thiết trên ta có:

$bắt đầu{align} x_1 & ne x_2 \[3pt] x_1 - x_2 & ne 0 \[3pt] trái( x_1 - x_2 phải) ^2 & > 0 \[3pt] x_1^2 – 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \[3pt] x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \[3pt] trái( x_1 + x_2 phải) ^2& > 4 x_1 x_2 \[3pt] Bigl( frac{x_1 + x_2}{2} Lớn hơn)^2 & > x_1 x_2 \[3pt] frac{x_1 + x_2}{2} & > sqrt{x_1 x_2} end{align} “> điều cần chứng minh. d. Trường hợp PHỤ NỮ = 2k Xem xét các trường hợp PHỤ NỮ= 2 kvới k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học. Trong trường hợp cơ sở,k = 1, tức là PHỤ NỮ = 2 thì bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên. Khi nào nó có giá trị? k> bất kỳ 1, giả sử rằng bất đẳng thức đúng cho PHỤ NỮ = 2k−1 và cần chứng minh nó vẫn đúng khi PHỤ NỮ = 2k. Để làm như vậy, các bước như sau: <img class=$

đối với bất đẳng thức thứ nhất, cả hai vế chỉ bằng nhau nếu cả hai điều sau đây đều đúng:

$x_1 = x_2 = cdots = x_{2^{k-1}}$
$x_{2^{k-1}+1} = x_{2^{k-1}+2} = cdots = x_{2^k}$

(Trong trường hợp này, trung bình cộng đầu tiên và trung bình nhân đầu tiên làx1, và tương tự cho trung bình cộng thứ hai và trung bình nhân thứ hai); và ở bất đẳng thức thứ hai, hai vế bằng nhau chỉ khi hai giá trị trung bình cộng bằng nhau. Vì không phải cả hai k bằng nhau, không thể có cả hai bất đẳng thức bằng nhau, vì vậy chúng ta biết rằng:

$frac{x_1 + x_2 + cdots + x_{2^k}}{2^k} > sqrt[2^k]{x_1 x_2 chấm x_{2^k}}”> (điều phải chứng minh). D. Trường hợp PHỤ NỮ < 2k Nếu như PHỤ NỮ không phải là số mũ tự nhiên cơ số 2 thì chắc chắn nó nhỏ hơn một số nào đó theo số mũ tự nhiên cơ số 2, vì dãy 2, 4, 8,,…, 2k.. không bị chặn trên. Như vậy, không mất tính tổng quát, với TÔI giá trị tuân theo số mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn PHỤ NỮ. Vì vậy, nếu chúng ta có PHỤ NỮ số, thì chúng ta có thể biểu thị giá trị trung bình của α và khai triển như sau: <img class=$

Sau đó chúng tôi có:

$begin{align} alpha & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n}{n} \[6pt] & = frac{frac{m}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + frac{mn}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + left( mn right) alpha}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + x_{n+1} + cdots + x_m}{m} \[6pt] & > sqrt[m]{x_1 x_2 cdots x_n x_{n+1} cdots x_m} \[6pt] & = hình vuông[m]{x_1 x_2 cdots x_n alpha^{mn}},, end{align} “> Vì thế <img class=$ với x > 0

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0 ta có:

$x + frac{7}{x} ge 2sqrt {x.frac{7}{x}} = 2sqrt 7$

Các “=” dấu xảy ra khi và chỉ khi $x = frac{7}{x} Leftrightarrow {x^2} = 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$ (vì x > 0)

Vì vậy, tối thiểu $A = 2sqrt 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện $frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt x + sqrt y$

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$frac{1}{x} + frac{1}{y} ge 2sqrt {frac{1}{x}.frac{1}{y}}$

$Leftrightarrow frac{1}{2} ge frac{2}{{sqrt {xy} }} Leftrightarrow sqrt {xy} ge 4$

Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$sqrt x + sqrt y ge 2sqrt {sqrt {xy} } = 2sqrt 4 = 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l} x = y\ frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2} end{array} phải. Trái phảimũi tên x = y = 4$

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài tập 3: Chứng minh rằng với ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

$frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt dấu bằng nếu và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ dùng phương pháp cộng trừ như sau:

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c ta có:

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} ge 3sqrt[3]{{frac{a}{{b + c}}.frac{{b + c}}{4}.frac{1}{{2a}}}} = 3sqrt[3]{{frac{1}{8}}} = frac{3}{2}$

Tương tự ta có $frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} ge frac{3}{2}$ Và $frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c}} ge frac{3}{2}$

Cộng cả hai vế ta có:

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} + frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c} } ge 3.frac{3}{2} = frac{9}{2}$

$Mũi tên trái phải frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{2left( {a + b + c } phải )}}{4} + frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b + c}}{2} + frac{{a + b + c}}{2} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{9}{2} - 3 = frac{3 }{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

b. Bài tập thêm:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Một, $B = frac{{trái( {x + 4} phải)trái( {x + 9} phải)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: biến đổi $B = frac{{trái( {x + 4} phải)trái( {x + 9} phải)}}{x} = frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + frac{{36}}{x}$ sau đó áp dụng bất đẳng thức Cosi)

b, $C = frac{{{{trái( {x + 10} phải)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = frac{x}{3} + frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + frac{1}{y} + frac{4}{{x - y}}$ với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi $P = x - y + frac{4}{{x - y}} + y + frac{1}{y}$ )

Bài tập 3: Với a, b, c là các số thực không âm, hãy chứng minh:

$trái( {a + b + c} phải)trái( {frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}} phải) 9$

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$frac{{b + c}}{a} + frac{{c + a}}{b} + frac{{a + b}}{c} ge 6$

(khuyến nghị sử dụng phương pháp chiếm ưu thế)

Như vậy các bạn vừa tìm hiểu lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp của bất đẳng thức Côsin. Hi vọng với những chia sẻ của cô, các em sẽ nắm chắc hơn những kiến thức Đại số 9 vô cùng quan trọng này. Xem thêm các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai tại link này!

Đăng bởi: TRƯỜNG THCS TT PHÚ XUYÊN

Thể loại: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc về TRƯỜNG THCS TT PHÚ XUYÊN. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: https://c3lehongphonghp.edu.vn https://c3lehongphonghp.edu.vn/bat-dang-thuc-co-si-ly-thuyet-can-ghi-nho-va-cac-dang-bai- tap-thuong-gap/

Bạn thấy bài viết Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
bên dưới để TRƯỜNG THCS TT PHÚ XUYÊN có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website của TRƯỜNG THCS TT PHÚ XUYÊN

Nhớ để nguồn bài viết này: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
của website thcsttphuxuyen.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục